5.4 Leyes de la electrostática.

     La carga eléctrica es la propiedad de los cuerpos que toman parte en las interacciones eléctricas. Tal vez el lector considere que esta frase no constituye una definición lícita, o acaso no es más que un juego de palabras. Respuestas rápidas a preguntas tales como ¿De qué color son las naranjas? o ¿Qué sabor tiene la sal? adolecen más o menos de los mismos problemas. Sin embargo, la falta de una res- puesta categórica (en sentido académico) no impide que las personas tengan pleno conocimiento del color de las naranjas o del sabor de la sal.

     La electrostática describe los fenómenos que tienen lugar en sistemas donde distribuciones de carga eléctrica mantienen su localización invariante en el tiempo. En otras palabras, los cuerpos cargados deben permanecer en reposo. A´un más, cada porción de carga debe permanecer en reposo dentro del cuerpo cargado. Aquí se pone de manifiesto la necesidad de un “soporte mecánico”que permita el equilibrio estable de los cuerpos en los que reside la carga, a la vez que impida la migración de carga dentro de cada cuerpo.

Densidades de carga.

     Comencemos por considerar un cuerpo sobre el que reside una distribución de cargas. Imaginemos ahora un mallado tridimensional que subdivide al cuerpo en pequeñísimos volúmenes cúbicos. Entonces, si la carga esta distribuida de alguna forma sobre el cuerpo, podemos pensar que en cada cubito reside una pequeña fracción de la carga. Sea  r′ el vector que identifica el centro de uno de dichos cubitos. Entonces decimos que la densidad volumetrica de carga ρ(~r′) es, en sentido intuitivo, el cociente entre la carga ¢q residente en el cubito centrado en ~r′ y el volumen ¢v de dicho cubito.

Una definición rigurosa requiere un paso al limite en que los cubitos sean infinitesimalmente pequeños. Esto es

Leyes de la electrostática 

•    Ley Cualitativa: “Las cargas eléctricas de la misma naturaleza (igual signo) se repelan y las de naturaleza diferente (signo diferente) se atraen.
•      Ley Cuantitativa (Ley de Coulomb) “Las fuerzas que se ejercen entre dos cargas eléctricas son directamente proporcional a los valores de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”

              Siendo:

                         F : fuerza entre las dos cargas

                         q₁ q₂ : cargas eléctricas

                         d: distancia entre las dos cargas

                        k: es la constante de proporcionalidad, comparadas con la G de la gravitación de Newton,                es un número muy grande y redondeando es igual a: k=9x10⁹ Nm²

                                                                                                C²

Ley de gauss

Cuando una distribución de carga tiene una simetría sencilla, es posible calcular el campo eléctrico que crea con ayuda de la ley de Gauss. La ley de Gauss deriva del concepto de flujo del campo eléctrico.

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε₀.

La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana.

Matemáticamente,

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con elteorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.

Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.

Ejercicios:

1.-Dado el sistema de cargas de la figura, determina la fuerza que experimenta q2 sabiendo que las tres cargas se encuentran en el vacío y el sistema de referencia está expresado en metros.

Datos

q1 = -4 µC = -4·10-6 C
q2 = 2 µC = 2·10-6 C
q3 = -5 µC = -5·10-6 C

K = 9·109 N·m2/C2

Distancia entre q1 y q2. d1,2 = 5 m
Distancia entre q3 y q2. d3,2 = 9 - 5 = 4 m

Resolución

Aplicando el principio de superposición de fuerzas eléctricas, la fuerza (F⃗ 2) que actúa sobre q2 será la suma vectorial de:

• la fuerza que ejerce q1 sobre q2 (F⃗ 1,2). Como q1 y q2 tienen distinto signo, F⃗ 1,2 será atractiva.
• la fuerza que ejerce q3 sobre q2 (F⃗ 3,2). Como nuevamente q2 y q3 tienen distinto signo, F⃗ 3,2 será atractiva.

F⃗ 2=F⃗ 1,2+F⃗ 3,2

Vamos a estudiar F⃗ 1,2 y F⃗ 3,2 por separado:

Fuerza F⃗ 1,2

Aplicando la ley de Coulomb sobre las cargas q1 y q2 obtenemos que:

F⃗ 1,2=K⋅q1⋅q2d1,22⋅u⃗ 1,2

Por definición, u⃗ 1,2 es un vector unitario que tiene la misma dirección que la fuerza y el mismo sentido si q1 y q2 tienen el mismo signo y sentido opuesto si tienen signo distinto. En nuestro caso el signo es distinto, por lo que será un vector unitario que va en dirección y sentido del eje x.

¿Ese vector te suena de algo?. Probablemente si, se trata del vector i o ux. Por tanto, u⃗ 1,2=i⃗ :

F⃗ 1,2=K⋅q1⋅q2d1,22⋅i⃗ ⇒F⃗ 1,2=9⋅109⋅−4⋅10−6⋅2⋅10−652⋅i⃗ ⇒F⃗ 1,2 = −2.88⋅10−3⋅i⃗ N

Fuerza F⃗ 3,2

Al igual que con F1, vamos a utilizar la ley de Coulomb, pero esta vez para estudiar la fuerza que ejerce q3 sobre q2:

F⃗ 2,3=K⋅q3⋅q2d2,32⋅u⃗ 3,2

En este caso u⃗ 3,2 es precisamente el opuesto del vector i⃗ , ya que "mira" en sentido opuesto al eje x. Por tanto:

F⃗ 2,3=K⋅q3⋅q2d2,32⋅(−i⃗ ) ⇒F⃗ 2,3=9⋅109⋅−5⋅10−6⋅2⋅10−642⋅(−i⃗ ) ⇒F⃗ 2,3=−5.62⋅10−3⋅(−i⃗ ) ⇒ F⃗ 2,3=5.62⋅10−3⋅i⃗  N

Una vez que conocemos ambas fuerzas, podemos calcular la fuerza resultante que actúa sobre la carga q2:

F⃗ 2=F⃗ 1,2+F⃗ 3,2 ⇒F⃗ 2=−2.88⋅10−3⋅i⃗  + 5.62⋅10−3⋅i⃗  ⇒F⃗ 2=2.74⋅10−3⋅i⃗ 

 N

2.-Utilizando la ley de Gauss, determinar el campo eléctrico creado por un hilo infinito con densidad lineal de carga homogénea λ siguiendo los siguientes pasos

Hacer un esquema de las líneas de campo eléctrico y dibujar la superficie gaussiana que se empleará para determinar el flujo del campo. 

3.-Calcular el flujo del campo eléctrico a través de la superficie gaussiana y el módulo del campo eléctrico. Expresar el campo eléctrico en forma vectorial. 

4.-Determinar la fuerza eléctrica que sufre una carga q1=2mC situada en el vacío en el punto (3,-2,4), al situar otra carga q2=-5 µC en el punto (2,-4,2).

Datos
q1=2 mC = 2 · 10-3 C
p1=(3,-2,4)
q2=-5 µC = -5· 10-6 C 
p2=(2,-4,2)
K = 9·109 N·m2/C2

F2,1?

Resolución

En el ejercicio se nos solicita la fuerza eléctrica que sufre q1 por la presencia de otra carga q2. A esta fuerza la llamaremos F2,1. Para calcularla, basta con aplicar la expresión de la ley de Coulomb, la cual establece que:

F⃗ 2,1=K⋅q1⋅q2r2⋅u⃗ r

Conocemos el valor de q1 y q2, y como ambas cargas se encuentran en el vacío, también sabemos el valor de K = 9·109 N·m2/C2. Lo único que desconocemos es el valor de r y u⃗ r. r es el módulo del vector r⃗ , es decir, del vector que va desde la carga que ejerce la fuerza hasta la carga que la sufre, y u⃗ r es el vector unitario de dicho vector. Por tanto, vamos a proceder a calcular cada uno de ellos.

Aplicando la definición de vector (punto extremo menos punto origen), y sabiendo que el vector va desde la carga q2 (la que ejerce la fuerza) hasta la carga q1 (la que la sufre) obtenemos que:

r⃗  = (3,−2,4) − (2,−4,2) ⇒r⃗  = (1,2,2) m

Aplicando la definición del módulo de un vector, obtenemos que r vale:

r=12+22+22−−−−−−−−−−√ ⇒r=3 m

Por último, aplicando la definición de vector unitario, obtenemos que u⃗ r es:

u⃗ r=r⃗ r⇒u⃗ r=(13/,23/,23/)

Una vez que disponemos de toda la información, ya podemos calcular la fuerza eléctrica que nos solicitan:

F⃗ 2,1=K⋅q1⋅q2r2⋅u⃗ r ⇒F⃗ 2,1=9⋅109⋅2⋅10−3⋅−5⋅10−632⋅(13/,23/,23/) ⇒F⃗ 2,1=(−103/,−203/,−203/) N

Fuentes:

http://electrostaticacs.blogspot.mx/2012/11/leyes-electrostaticas.html

^{http://fcaglp.unlp.edu.ar/~adevito/2012/apuntes_2012.pdf}